Eksamensoppgaver

Høst 2025 – oppgave 10: Halvpresisjon

Oppgaven bygger på eksamensoppgave 10 fra IMAx3011 høsten 2025.

Halvpresisjonsformatet

Et binært flyttall skrives som

\[ t=\pm m\,2^e, \]

der \(1\le m<2\). Halvpresisjonsformatet har 16 bit:

• 1 fortegnsbit,
• 5 eksponentbiter med bias 15,
• 10 brøkbiter i mantissen.

For et normalisert tall er verdien

\[ (-1)^s(1.f)_2\,2^{E-15}, \]

der \(E\) er heltallsverdien til eksponentfeltet og den ledende eneren i mantissen er skjult. Runding skjer til nærmeste representerbare tall, med ties-to-even når et tall ligger nøyaktig midt mellom to alternativer.

a) Maskinepsilon

Maskinepsilon \(\varepsilon\) er avstanden fra 1 til neste representerbare tall i formatet.

Finn maskinepsilon

Svarformat: Skriv et eksakt matematisk uttrykk, for eksempel 2**(-k) for en
heltallig eksponent \(k\).

\[\varepsilon =\]

Kontroller også bitmønstrene rundt 1.

Bitmønstrene for 1 og neste tall

Svarformat: Hvert eksponentfelt skal være en binær streng med nøyaktig 5 bit.
Hvert mantissefelt skal være en binær streng med nøyaktig 10 bit. Bruk bare
nuller og enere, uten mellomrom eller skilletegn.

For tallet 1: eksponentfelt: og mantissefelt: .

For det nærmeste tallet over 1: eksponentfelt: og mantissefelt:
.

b) Representasjon av 12345

Tallet er gitt i binær form som

\[ 12345=(11000000111001)_2. \]

Kod 12345 i halvpresisjon

Svarformat: Fortegnet skal være 1 bit, eksponentfeltet nøyaktig 5 bit og
mantissefeltet nøyaktig 10 bit. Bruk bare nuller og enere, uten mellomrom eller
skilletegn.

\(s=\)
\(E=\)
\(f=\)

c) Avrunding nær 1

Vi ønsker å lagre

\[ x=1+2^{-12}+2^{-15}. \]

Finn nabotallene og den lagrede verdien

Svarformat: Skriv hvert svar som et heltall eller et eksakt uttrykk. Bruk
2**(-k) for \(2^{-k}\).

Det nedre representerbare nabotallet er .

Det øvre representerbare nabotallet er .

Etter avrunding lagres verdien .

Bitmønstrene til nabotallene

Begge tallene har fortegn 0 og eksponentfelt 01111.

Svarformat: Hvert svar skal være en binær streng med nøyaktig 10 bit. Bruk bare
nuller og enere, uten mellomrom eller skilletegn.

Nedre:
Øvre:

Valgt etter avrunding:

Vår 2026, konte – oppgave 8: MiniFloat

Oppgaven bygger på eksamensoppgave 8 fra IMAx3011 konteeksamen våren 2026.

MiniFloat(1,3,3)

Formatet har sju bit: én fortegnsbit \(s\), tre eksponentbiter \(e\) og tre brøkbiter \(f\). Bias er \(B=3\). Alle tall i denne oppgaven er normaliserte og tolkes som

\[ x=(-1)^s(1.f)_2\,2^{e-B}. \]

Eksponentkodene 000 og 111 brukes ikke. Ved avrunding velges nærmeste representerbare tall. Ligger verdien nøyaktig midt mellom to tall, bruker vi ties-to-even: alternativet med siste mantissebit 0 velges.

a) Dekoding

Dekod et MiniFloat-tall

Svarformat: Oppgi én eksakt tallverdi som heltall, brøk eller desimaltall med
punktum som desimalskilletegn.

Hva er desimalverdien av bitmønsteret

\[ \texttt{0 100 010}? \]

Verdien er .

b) Koding og avrunding

Tallet \(5.25\) ligger nøyaktig midt mellom to representerbare MiniFloat-tall.

Kod 5.25 med ties-to-even

Svarformat: Fortegnet skal være 1 bit, eksponentfeltet nøyaktig 3 bit og
mantissefeltet nøyaktig 3 bit. Bruk bare nuller og enere, uten mellomrom eller
skilletegn.

\(s=\)
\(e=\)
\(f=\)

c) Nærmeste tall til 0.3

Rund 0.3 til MiniFloat

Svarformat: Oppgi hvert tall som en eksakt brøk eller som et desimaltall med
punktum som desimalskilletegn.

Det nedre representerbare nabotallet er .

Det øvre representerbare nabotallet er .

Ved avrunding til nærmeste lagres .

Bitmønstre rundt 0.3

Alle tre svarene har fortegn 0 og eksponentfelt 001.

Svarformat: Hvert svar skal være en binær streng med nøyaktig 3 bit. Bruk bare
nuller og enere, uten mellomrom eller skilletegn.

Nedre:
Øvre:
Valgt:

d) Avstand mellom nabotall

Finn nabotallsavstanden

Svarformat: Oppgi én eksakt brøk eller et desimaltall med punktum som
desimalskilletegn.

Hold eksponentfeltet fast på \(e=\texttt{100}\).
La \(\Delta\) være avstanden mellom to tall som bare skiller seg med 1 i mantissefeltet.

\[\Delta =\] .

Vår 2026, konte 2 – oppgave 8: Kansellering

Oppgaven bygger på eksamensoppgave 8 fra den andre konteeksamenen i IMAx3011 våren 2026.

Desimalt flyttallsformat

Vi bruker et desimalt flyttallsformat med fire signifikante sifre og avrunding til nærmeste representerbare tall. Ligger et tall nøyaktig midt mellom to representerbare tall, rundes det bort fra null. Regneoperasjoner utføres på de lagrede verdiene, og resultatet avrundes tilbake til formatet.

Når to nesten like tall subtraheres, kan de ledende sifrene forsvinne. Små avrundingsfeil i operandene kan da bli store sammenlignet med den lille differansen. Dette kalles kansellering.

a) Maskinell differanse

La \(x=12.345\) og \(y=12.344\).

Lagre og subtraher med fire signifikante sifre

Svarformat: Oppgi bare tallverdien i hvert felt. Bruk punktum som
desimalskilletegn, ikke komma.

\[\operatorname{fl}(x)=\]

\[\operatorname{fl}(y)=\]

\[\operatorname{fl}(\operatorname{fl}(x)-\operatorname{fl}(y))=\]

Den eksakte differansen er \(x-y=\) .

Sammenlign differansene

Svarformat: Oppgi ett positivt heltall.

Den maskinelle differansen er ganger den eksakte differansen.

Stabil omskriving

For små \(t>0\) er \(\sqrt{1+t}\) nær 1. Direkte beregning av \(\sqrt{1+t}-1\) subtraherer derfor to nesten like tall og kan miste mange signifikante sifre. Ved å multiplisere teller og nevner med den konjugerte \(\sqrt{1+t}+1\) kan subtraksjonen fjernes.

b–c) Kansellering og rasjonalisering

Skriv om uttrykket

Skriv \(\sqrt{1+t}-1\) på en matematisk ekvivalent form som unngår subtraksjon
av to nesten like tall.

Svarformat: Bruk variabelen t og skriv kvadratroten som sqrt(...). Bruk
vanlige regneoperatorer som +, -, * og /. Det opprinnelige uttrykket
godtas ikke.

\[\sqrt{1+t}-1 =\]