Prosjekt 6 – Samme løsning, mindre arbeid?

Samme løsning, mindre arbeid?

I uke 6 så vi at en smal skål kan gjøre veien mot minimumet vanskelig. CG velger søkeretningene med omtanke, men må fortsatt arbeide med matrisen vi gir metoden. Nå skal vi undersøke en annen mulighet: Kan vi velge en bedre skala på koordinatene før vi begynner?

Tenk på et kart der de to aksene bruker svært ulike målestokker. Et koordinatskifte endrer hvordan kartet ser ut, men ikke hvilket sted vi vil fram til. På samme måte skal vi endre beskrivelsen av et likningssett, men likevel kunne oversette svaret tilbake til den samme løsningen. Spørsmålet er om CG da får mindre arbeid å gjøre.

Prosjektet starter med to ukjente og en regning på papir. Deretter prøver vi ideen på større systemer, forklarer hva som endres og bygger diagonalt prekondisjonert CG (PCG). Til slutt velger du ett eget forsøk som undersøker når denne ideen hjelper.

Du får ferdig CG-kode, forsøksdata og plotteverktøy. Kodeoppgaven består i å fylle inn tre uttrykk i PCG. Den viktigste jobben er å begrunne at problemet er bevart, forutsi virkningen og tolke resultatene. Sett av omtrent 4–6 timer.

En vei gjennom prosjektet

Del	Spørsmålet vi arbeider med	Det du tar med videre
1. En skål i nye koordinater	Kan samme minimum få en enklere beskrivelse?	Et gjennomregnet \(2\times2\)-eksempel.
2. Fra eksempel til metode	Hvorfor bevares løsningen og SPD?	Omregningsformlene og en begrunnelse.
3. To større systemer	Når fjerner skalering den vanskelige delen?	En forutsigelse og to referansekjøringer.
4. Fra koordinatskifte til PCG	Hvordan får vi effekten uten å bygge en ny matrise?	En utledning, tre kodeuttrykk og fire kontroller.
5. Din undersøkelse	Hvor langt rekker forklaringen vår?	Ett kontrollert par og en avgrenset konklusjon.

Skriv en kort forventning før hvert forsøk. Kjør så, beskriv hva du ser, og bruk matematikken til å forklare forskjellen. Utregningene kan stå i egne tekstceller; de trenger ikke flettes inn i programkoden.

Det vi trenger fra uke 6

Her er begrepene vi bruker, samlet på ett sted:

SPD: \(A^T=A\) og \(z^TAz>0\) for alle \(z\ne0\). Da har \(\phi(x)=\tfrac12x^TAx-b^Tx\) ett minimum, som er løsningen av \(Ax=b\).
Residual: \(r=b-Ax\) måler avviket i likningene. Den er lik den negative gradienten til \(\phi\). Relativ residual er \(\lVert r\rVert_2/\lVert b\rVert_2\). Siden \(Ax=b-r\), er \(x\) en eksakt løsning når vi endrer høyresiden med \(-r\). Med fast \(A\) er relativ residual dermed relativ bakoverfeil.
Foroverfeil: Når vi kjenner løsningen \(x_*\), kan vi også måle \(\lVert x-x_*\rVert_2/\lVert x_*\rVert_2\). Liten residual og liten foroverfeil er forskjellige krav, slik vi så i uke 2 og del 6.3.
Kondisjonstall: \(\lVert A\rVert_2=\max_{\lVert z\rVert_2=1}\lVert Az\rVert_2\) er største strekkfaktor. For SPD er \(\kappa_2(A)=\lVert A\rVert_2\lVert A^{-1}\rVert_2=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}\). Forholdet sier noe om følsomhet og skålform, men bestemmer ikke alene antall CG-steg.

CG minimerer langs A-konjugerte retninger, som oppfyller \(p_i^TAp_j=0\) når \(i\ne j\). Derfor ødelegger ikke en ny minimering det vi har oppnådd langs de tidligere retningene. I eksakt regning er høyst \(n\) steg nok for \(n\) ukjente; avrunding kan gjøre at flere steg trengs. Residualnormen trenger ikke avta i hvert enkelt steg.

Vil du se flere bilder, finnes de i 6.3 om residual og kondisjon, 6.4 om skålen og 6.6 om CG. Alle opplysninger du trenger for prosjektet, står også her.

Kjøring på siden eller i egen notebook

Oppsettet på denne siden lastes automatisk og inneholder alle hjelpefunksjonene. Start med del 1 og kjør cellene i rekkefølge. Den ferdige CG-koden ligger i oppsettet; PCG-malen åpner du i del 4.

Egen notebook: last ned oppsettet og kom i gang

Last ned project_week6_setup.py og legg filen ved siden av notebooken. Kjør først

from project_week6_setup import *

Miljøet trenger NumPy og Matplotlib. Filen inneholder de samme hjelpefunksjonene og datakonstruksjonene som siden, og kan brukes uten nett etter nedlasting. Den inneholder ingen ferdig PCG-løsning. Kopier deretter forsøkscellene og PCG-malen fra prosjektet. Etter at du har fullført malen, skal hele notebooken kunne kjøres med Restart / Run all. Ta med oppsettsfilen ved levering. Importlinjen brukes bare i egen notebook.

1. Begynn med en skål vi kan regne på

Vi starter med et lite system med to ukjente, som du kan regne på for hånd:

\[A_2=\begin{bmatrix}1&2\\2&100\end{bmatrix},\qquad b_2=\begin{bmatrix}3\\102\end{bmatrix}.\]

Løsningen er \(x_*=(1,1)^T\). Matrisen er symmetrisk, og \(z^TA_2z=(z_1+2z_2)^2+96z_2^2>0\) for \(z\ne0\), så den er SPD. Den tilhørende funksjonen er

\[\phi(x_1,x_2)=\tfrac12x_1^2+2x_1x_2+50x_2^2-3x_1-102x_2.\]

Kvadratleddene har svært ulike koeffisienter. La oss derfor prøve \(y_1=x_1\) og \(y_2=10x_2\). Når vi regner tilbake, får vi \(x_1=y_1\) og \(x_2=y_2/10\).

Før du kjører:

Kontroller løsningen \(x_*\). Hvilke koordinater får den i \(y\)?
Sett koordinatskiftet inn i \(\phi\). Hva skjer med kvadratleddene?
Sett det inn i likningssettet, og del den andre likningen på \(10\). Skriv det nye systemet som \(\widetilde A_2y=\widetilde b_2\).
Forutsi om nivåkurvene blir rundere. Hvorfor er det ikke nok å endre matrisen og beholde den gamle høyresiden?

Når du har et forslag, kan du kontrollere det og se på figuren:

Hjelperen show_coordinate_change tegner nivåkurvene før og etter omregningen. Stjernene er minimumspunktene. Øverste bilde bruker \(x\)-koordinater, nederste bruker \(y\)-koordinater; aksene har derfor forskjellige betydninger. Oversett stjernen i nederste bilde tilbake til \(x\). Får du samme løsning?

Regnehjelp: samme minimum i to koordinatsystemer

Etter innsetting er funksjonen

\[\widetilde\phi(y_1,y_2) =\tfrac12y_1^2+0.2y_1y_2+\tfrac12y_2^2-3y_1-10.2y_2.\]

Begge kvadratkoeffisientene er nå \(1/2\). Likningssettet blir

\[\widetilde A_2=\begin{bmatrix}1&0.2\\0.2&1\end{bmatrix},\qquad \widetilde b_2=\begin{bmatrix}3\\10.2\end{bmatrix}.\]

Minimumet er \(y_*=(1,10)^T\), som gir \(x_*=(1,1)^T\) etter omregning. Vi har \(\widetilde\phi(y)=\phi(x)\) for punkter som svarer til hverandre. Vi løser derfor det samme minimeringsproblemet, bare i nye koordinater.

Egenverdiene til \(\widetilde A_2\) er \(1.2\) og \(0.8\), så kondisjonstallet er \(1.5\). Kryssleddet er der fortsatt, så kurvene er blitt rundere, men ikke helt sirkulære. Koordinatskiftet har heller ikke endret hvilket fysisk eller matematisk svar vi søker i de opprinnelige variablene.

Ta med videre: Skriv de to systemene ved siden av hverandre, med omregningen mellom \(x\) og \(y\) som piler. Dette oppsettet er modellen for resten av prosjektet.

2. Gjør omregningen generell

I eksemplet delte vi andre koordinat på kvadratroten av det andre diagonalelementet. For en generell SPD-matrise velger vi

\[M=\operatorname{diag}(A),\qquad m_i=a_{ii}>0.\]

\(M^{1/2}\) er diagonalmatrisen med \(\sqrt{m_i}\) på diagonalen, og \(M^{-1/2}\) har \(1/\sqrt{m_i}\). Å bruke disse matrisene betyr bare å gange eller dele koordinatvis. Vi trenger ingen tett invers.

Vi setter \(x=M^{-1/2}y\). Gjør først omregningen selv: Sett dette inn i \(Ax=b\), og multipliser begge sider fra venstre med \(M^{-1/2}\). Du skal ende med

\[\underbrace{M^{-1/2}AM^{-1/2}}_{\widetilde A}y =\underbrace{M^{-1/2}b}_{\widetilde b},\qquad x=M^{-1/2}y.\]

Å bruke et enkelt hjelpesystem til å gjøre CG-problemet lettere kalles prekondisjonering. Her bruker vi diagonalen, så metoden kalles diagonal prekondisjonering, også kjent som Jacobi-prekondisjonering. Navnet betyr ikke at vi utfører Jacobi-iterasjoner.

Tre korte matematiske kontroller:

Vis at diagonalen til \(\widetilde A\) består av ettall.
Vis at \(\widetilde A\) er symmetrisk og positivt definit.
La \(r=b-Ax\) og \(\widetilde r=\widetilde b-\widetilde Ay\). Finn sammenhengen mellom residualene. Betyr like små residualnormer i de to koordinatsystemene det samme?

Gå i dybden: symmetri, positiv definitet og residual

Det nye diagonalelementet er \(a_{ii}/(\sqrt{m_i}\sqrt{m_i})=1\). Symmetrien følger av at \(M^{-1/2}\) er diagonal og \(A^T=A\):

\[\widetilde A^T=M^{-1/2}A^TM^{-1/2}=\widetilde A.\]

For \(z\ne0\) er også \(M^{-1/2}z\ne0\), og

\[z^T\widetilde Az=(M^{-1/2}z)^TA(M^{-1/2}z)>0.\]

Vi har dermed bevart forutsetningene for vanlig CG. Matrisen \(M^{-1}A\) er derimot generelt ikke symmetrisk i det vanlige indreproduktet. Vi skal derfor ikke bare sende den til CG-rutinen.

Residualene henger sammen ved

\[\widetilde r=M^{-1/2}b-M^{-1/2}AM^{-1/2}y=M^{-1/2}r.\]

De to normene måler det samme avviket, men med ulik skalering. Et stoppkrav på \(\lVert\widetilde r\rVert_2\) er derfor ikke automatisk det samme som et stoppkrav på \(\lVert r\rVert_2\).

Ta med videre: Vi kan bruke CG på det nye systemet og regne svaret tilbake. Når vi sammenligner metoder senere, skal begge kontrolleres med residualen i det opprinnelige systemet.

3. To større systemer – vil samme tiltak hjelpe begge?

Nå går vi fra to til 60 ukjente. Vi bruker to ferdige SPD-systemer der retningene er ulikt skalert av forskjellige årsaker:

System	Slik er matrisen bygd	Hva kan diagonalen hjelpe med?
Ujevn skalering	\(A=DBD\). \(B\) har \(2\) på diagonalen og \(-0.25\) på nabodiagonalene. \(D\) har positive verdier fra \(1\) til \(100\).	Koordinatene har fått svært ulike skalaer.
Poisson	\(A\) har \(2\) på diagonalen og \(-1\) på nabodiagonalene. Ellers er elementene null.	Diagonalen er allerede lik overalt; nabokoblingen er sterkere enn i det første systemet.

Her er \(D\) bare navnet på skaleringen som brukes til å lage det første forsøksproblemet. Prekondisjoneringen heter fortsatt \(M=\operatorname{diag}(A)\). Vi velger samme kjente løsning \(x_*\) og lager \(b=Ax_*\) i begge systemene. Høyresidene blir forskjellige. Den kjente løsningen lar oss måle den faktiske feilen i forsøket; i et praktisk problem kjenner vi vanligvis ikke løsningen.

Først et sammenligningsgrunnlag

Forutsi: Trenger to systemer med samme størrelse like mange CG-steg? Kjør vanlig CG fra nullstart, og noter oppnådd residual og om metoden faktisk nådde stoppkravet.

make_week6_problems lager nettopp matrisene beskrevet i tabellen, der den kjente løsningen trekkes tilfeldig med fast frø. cg er den ferdige referansemetoden. Den stopper på en direkte beregning av \(b-Ax\) og returnerer løsningsforslagene i path, residualnormene i residuals og et sannhetsverdi-felt converged.

Forutsi før du skalerer

Bruk matrisebeskrivelsene over til å vise

\[M=2D^2\quad\text{og}\quad\widetilde A=B/2 \quad\text{for ujevn skalering},\]

\[M=2I\quad\text{og}\quad\widetilde A=A/2 \quad\text{for Poisson-systemet}.\]

Hva fjernes i det første tilfellet? Hva endres ikke i det andre? Skriv en forventning om kondisjonstall og arbeidsmengde før neste kjøring.

invroot[:,None] skalerer radene og invroot[None,:] kolonnene. De to linjene for At og bt er omregningen fra del 2 skrevet i NumPy. Her stopper CG på den transformerte residualen. Kjøringen er en kontroll av koordinatskiftet, ikke en rettferdig sammenligning av antall steg. Den rettferdige sammenligningen kommer i del 5.

Se deretter på spekteret, altså samlingen av egenverdier:

Hvert punkt i figuren er en egenverdi, sortert fra minst til størst. Den loddrette aksen er logaritmisk. Hjelperen viser begge spektrene og skriver ut kondisjonstallene. Se etter forholdet mellom største og minste verdi, ikke bare om punktene flytter seg nedover. Sammenlign med forventningen din.

Gå i dybden: hvorfor er matrisene SPD, og hva forklarer forskjellen?

For det første systemet er \(M=2D^2\) og \(M^{-1/2}=D^{-1}/\sqrt2\), fordi diagonalen i \(D\) er positiv. Dermed

\[\widetilde A=\frac1{\sqrt2}D^{-1}(DBD)D^{-1}\frac1{\sqrt2}=B/2.\]

Forskjellen mellom koordinatskaleringene er fjernet. \(B\) er symmetrisk og strengt diagonaldominant med positiv diagonal. Egenverdiene ligger mellom \(1.5\) og \(2.5\), så \(B\) er SPD. Dessuten er \(z^TDBDz=(Dz)^TB(Dz)>0\) for \(z\ne0\). Det beviser at også forsøksmatrisen er SPD.

For Poisson-systemet er \(M=2I\), så \(\widetilde A=A/2\). Alle egenverdier halveres, men forholdet mellom største og minste forblir det samme. I eksakt regning får CG den samme banen i de opprinnelige koordinatene med denne skalare prekondisjoneringen. Små flyttallsforskjeller er ikke en systematisk forbedring.

For å se at Poisson-matrisen er SPD, sett \(z_0=z_{n+1}=0\). Da er

\[z^TAz=\sum_{i=0}^n(z_{i+1}-z_i)^2>0\qquad(z\ne0).\]

Summen kan bare være null når alle naboforskjellene er null; med randverdiene null betyr det at hele vektoren er null.

Ta med videre: En god forklaring må skille mellom å fjerne ujevn koordinatskala og å endre koblingen mellom koordinater. At diagonalen blir lik én, er ikke alene et bevis på at CG får mindre arbeid.

4. Fra koordinatskifte til PCG

Vi har hittil bygd \(\widetilde A\) og regnet i \(y\)-koordinater. PCG får den samme virkningen ved å arbeide direkte med \(A\) og løse et enkelt hjelpesystem for hver residual:

\[Mz=r\quad\Longrightarrow\quad z_i=\frac{r_i}{m_i}.\]

Her er \(z\) en skalert residual, ikke en ny løsning av \(Ax=b\). I koden lagrer vi bare diagonalen som vektoren m; løsningen av \(Mz=r\) er derfor koordinatvis divisjon.

Finn de nye størrelsene før du åpner malen

I vanlig CG inngår \(r^Tr\). Men residualen i de nye koordinatene er \(\widetilde r=M^{-1/2}r\).

Vis at \(\widetilde r^T\widetilde r=r^TM^{-1}r=r^Tz\).
Første CG-retning i \(y\)-koordinater er \(\widetilde p_0=\widetilde r_0\). Omregn denne til en retning i \(x\)-koordinater. Vis at \(p_0=z_0\).
Sett \(p=M^{-1/2}\widetilde p\) inn i \(\widetilde p^T\widetilde A\widetilde p\). Hvorfor blir nevneren i linjesøket fortsatt \(p^TAp\)?

Disse tre regningene forklarer de viktigste endringene fra CG til PCG. Vi kaller den nye telleren \(\gamma=r^Tz\).

Regnehjelp: omregn residual og søkeretning

Siden \(M^{-1/2}\) er symmetrisk, får vi

\[\widetilde r^T\widetilde r =r^TM^{-1/2}M^{-1/2}r=r^TM^{-1}r=r^Tz.\]

Den første retningen i opprinnelige koordinater blir

\[p_0=M^{-1/2}\widetilde p_0 =M^{-1/2}\widetilde r_0=M^{-1}r_0=z_0.\]

Og for en vilkårlig søkeretning er

\[\widetilde p^T\widetilde A\widetilde p =\widetilde p^TM^{-1/2}AM^{-1/2}\widetilde p=p^TAp.\]

Derfor får linjesøket telleren \(r^Tz\) og nevneren \(p^TAp\). Omregning av retningsoppdateringen gir \(p_{k+1}=z_{k+1}+\beta_kp_k\), med \(\beta_k=\gamma_{k+1}/\gamma_k\). Vi bruker en fast SPD-prekondisjonering gjennom hele kjøringen; det er forutsetningen for denne PCG-oppskriften.

Oppskriften du skal kode

Les pseudokoden med papirregningen ved siden av. I malen er det tre steder der du selv skal skrive den om til Python: hjelpesystemet, beta og neste retning.

r = b − A x
Hvis original residual er liten nok: stopp.
z = løs M z = r
p = z; gamma = rᵀ z
Gjenta:
    Ap = A p
    alpha = gamma / (pᵀ Ap)
    x = x + alpha p
    r = r − alpha Ap
    Kontroller original residual b − A x; stopp hvis liten nok.
    z = løs M z = r
    gamma_ny = rᵀ z
    beta = gamma_ny / gamma
    p = z + beta p
    gamma = gamma_ny

Kodeverksted: åpne PCG-malen og fyll tre uttrykk

Fyll bare de tre markerte TODO-delene. Resten av malen tar hånd om startvektor, kontroll av inndata, stoppkrav og telling av arbeid. Kjør cellen på nytt etter redigering. Den definerer pcg, men utfører ennå ingen av forsøkene.

Symmetrikontrollen i koden er ikke et SPD-bevis. Matrisene våre er SPD fordi de er konstruert slik, og testen på \(p^TAp\) oppdager bare enkelte brudd på forutsetningen. Direkte kontroll av \(b-Ax\) brukes fordi den kort oppdaterte residualen kan samle avrundingsfeil.

Fire små kontroller før hovedforsøket

Kontroll	Hva skal skje?
\(A=\operatorname{diag}(1,100)\), \(b=(1,100)^T\), \(x_0=0\), \(M=A\)	Ett steg gir \((1,1)^T\), på avrundingsfeil nær.
\(M=I\)	PCG gir samme bane som CG, på avrundingsfeil nær.
Start i den kjente løsningen \(x_0=x_*\)	Metoden stopper uten å ta noe søkesteg.
Bruk \(A_2\) fra del 1	PCG-banen stemmer med CG-banen fra de nye koordinatene, regnet tilbake til \(x\).

Begrunn forventningene før du kjører. Deretter kan du bruke den ferdige kontrollfunksjonen. Den tar din pcg som argument og sjekker alle fire tilfellene. Hvis en kontroll feiler, gå tilbake til det matematiske uttrykket den skal representere.

Ta med videre: En fungerende PCG og en kort forklaring av hvorfor hver av de fire kontrollene er relevant. En slik forklaring sier mer enn at programmet bare kjører uten feilmelding.

5. Sammenlign rettferdig – og lag din egen undersøkelse

Nå kan vi sammenligne vanlig CG og PCG med samme regler. Begge får samme \(A,b,x_0=0\), rtol=1e-8, atol=0 og maksimalgrense 1000. Begge stopper på original residual \(\lVert b-Ax\rVert_2\).

Skriv forventningen først: På hvilket av de to systemene venter du størst gevinst, og hvilken utregning fra del 3 støtter svaret?

compare_runs viser original relativ residual øverst og relativ løsningsfeil nederst. Den vannrette aksen teller produkter av \(A\) med en vektor, inkludert produktene i den direkte residualkontrollen. Her brukes ett produkt i starten og to per steg, altså \(1+2k\) etter \(k\) steg. Verdier under \(10^{-16}\) vises som \(10^{-16}\) i logaritmeplottene.

Tabellen som skrives ut, viser også oppnådd relativ residual og løsningsfeil, antall anvendelser av prekondisjoneringen og om stoppkravet ble nådd. Hver anvendelse av diagonal \(M\) krever \(n\) divisjoner; \(n\) diagonalverdier lagres én gang. Færre steg er derfor ikke hele kostnadsbildet. Våre tellere tar ikke med konstruksjon av data, spektralberegning eller analyseplott.

Din påstand og ett kontrollert par

De to ferdige systemene viser en gevinst og en begrensning. Nå skal du undersøke om forklaringen din holder utenfor akkurat disse eksemplene. Formuler én påstand, og velg én av disse veiene:

Hold størrelse og diagonal fast, men endre koblingene utenfor diagonalen. Er samme diagonale skala nok til å forutsi samme gevinst?
Hold matrisen fast, men endre den kjente løsningen og dermed \(b=Ax_*\). Er gevinsten uavhengig av hvilke egenretninger problemet aktiverer?

For første vei kan du bruke den ferdige datakonstruksjonen coupled_problem(n, span, coupling). Den lager \(A=DBD\), med positive verdier i \(D\) fra \(1\) til span, \(2\) på diagonalen i \(B\) og -coupling på nabodiagonalene. Når n og span holdes fast, er diagonalen i \(A\) alltid \(2d_i^2\), uansett coupling. Kravene er n >= 2, span >= 1 og 0 <= coupling < 1.

Gå i dybden: hvorfor er denne forsøksfamilien SPD?

\(B\) er symmetrisk og strengt diagonaldominant: \(2\) er større enn summen av nabobidragene, som er høyst \(2\,\text{coupling}<2\). Med positiv diagonal gir dette positive egenverdier, og matrisen er dermed SPD. Skaleringen med invertibel \(D\) bevarer egenskapen: \(z^TDBDz=(Dz)^TB(Dz)>0\) når \(z\ne0\). Ved andre egne konstruksjoner må du selv begrunne at CGs forutsetninger fortsatt er oppfylt.

Velg \(x_*\ne0\); da er også \(b=Ax_*\ne0\), fordi matrisen er SPD. Dermed er relativ residual og relativ løsningsfeil definert i forsøket ditt.

Før kjøring skriver du ned: påstanden, hvilke størrelser du holder faste, hva du endrer, og hvilket resultat som ville utfordre påstanden. Velg selv parameterverdier. Bruk samme opprinnelige residualkrav, rapporter konvergensstatus og tell også PCGs ekstra arbeid. En avbrutt kjøring er ikke en raskere løsning.

Lag ett kontrollert par og forklar resultatet. Valgfritt: Prøv forklaringen på et nytt par med sterkere kobling eller en annen høyreside. Vis også eventuelle motfunn, og avgrens konklusjonen til det du faktisk har undersøkt.

Det du leverer

Lever én kjørbar notebook eller Quarto-side med:

papirregningene fra del 1–2 og utledningen av PCG-størrelsene fra del 4;
fullført PCG, begrunnelser og resultater for de fire kontrollene;
de to referanseforsøkene og din egen undersøkelse med ett kontrollert par;
figurer med aksetitler og en tabell med steg, \(A\)-produkter, \(M\)-anvendelser, oppnådd residual, faktisk feil og konvergensstatus.

Skriv i tillegg en analyse på 400–600 ord med påstand, forsøksdesign, et mulig motfunn og en avgrenset konklusjon. Utregningene og koden kommer i tillegg og teller ikke med i ordtallet. Analysen skal forklare hvorfor løsningen bevares, hva som endres i spekteret, hva residual og feil forteller, og hvilken ekstra kostnad \(M\) har.

Matrisene her er små og lagres som tette matriser for at alle kontrollene skal være lette å gjennomføre i nettleseren. Et glissent system har få ikke-null matriseelementer. Avslutt med å si hva som må undersøkes før du overfører konklusjonen til store, glisne systemer; kjøretiden i disse små forsøkene er ikke alene et godt nok grunnlag.